السلام عليكم: Akar Persamaan Metode Newton Raphson

METODE NEWTON RAPHSON

Rumus :

A. Contoh soal

1. Tentukan akar dari persamaan 4x³ – 15x² + 17x – 6 = 0 menggunakan Metode Newton-Raphson.

Penyelesaian :

f(x) = 4x³ – 15x² + 17x – 6

f’(x) = 12x² – 30x + 17

ambil titik awalnya = 3

hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara :

iterasi 1 :

f(3) = 4(3)³ – 15(3)² + 17(3) – 6 = 18

f’(3) = 12(3)² – 30(3) + 17 = 35

x₁ = 3 -= 2.48571

iterasi 2 :

f(2.48571) = 4(2.48571)³ – 15(2.48571)² + 17(2.48571) – 6 = 5.01019

f’(2.48571) = 12(2.48571)² – 30(2.48571) + 17 = 16.57388

x₂ = 2.48571 –
= 2.18342

iterasi 3 :

f(2.18342) = 4(2.18342)³ – 15(2.18342)² + 17(2.18342) – 6 = 1.24457

f’(2.18342) = 12(2.18342)² – 30(2.18342) + 17 = 8.70527

x₃ = 2.18342 – = 2.04045

iterasi 4 :

f(2.04045) = 4(2.04045)³ – 15(2.04045)² + 17(2.04045) – 6 = 0.21726

f’(2.04045) = 12(2.04045)² – 30(2.04045) + 17 = 5.74778

x₄ = 2.04045 – = 2.00265

iterasi 5 :

f(3) = 4(2.00265)³ – 15(2.00265)² + 17(2.00265) – 6 = 0.01334

f’(2.00265) = 12(2.00265)² – 30(2.00265) + 17 = 5.04787

x₅ = 2.00265 − = 2.00001

iterasi 6 :

f(2.00001) = 4(2.00001)³ – 15(2.00001)² + 17(2.00001) – 6 = 0.00006

f’(2.00001) = 12(2.00001)² – 30(2.00001) + 17 = 5.00023

x₆ = 2.00001 – = 2.00000

iterasi 7 :

f(2) = 4(2)³ – 15(2)² + 17(2) – 6 = 0

Jika disajikan dalam tabel, maka seperti tabel dibawah ini.

Karena pada iterasi ketujuh f(x6) = 0 maka akar dari persamaan tersebut adalah x = 2.

2. Hitung salah satu akar dari persamaan f(x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0, dengan metode Newton-Raphon

Penyelesaian:

Turunan pertama dari persamaan tersebut adalah: f ¢(x) = 3x² + 2x – 3,

Dengan menggunakan persamaan

Pada awal hitungan ditentukan nilai xᵢ sembarang, misalnya x1 = 1, maka:

f(x1 = 1) = (1)³ + (1)² – 3(1) – 3 = – 4.

f¢(x1 = 1) = 3(1)² + 2(1) – 3 = 2.

Langkah berikutnya nilai x2 = 3, tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f (x2 = 3) = (3)³ + (3)² – 3(3) – 3 = 24.

f ¢(x2 = 3) = 3(3)² + 2(3) – 3 = 30.

Langkah berikutnya nilai x3 = 2,2 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f (x3 = 2,2) = (2,2)³ + (2,2)² – 3(2,2) – 3 = 5,888.

f ¢(x3 = 2,2) = 3(2,2)² + 2(2,2) – 3 = 15,92.

Langkah berikutnya nilai x4 = 1,83015 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f(x4 = 1,83015) = (1,83015)³ + (1,83015)² – 3(1,83015) – 3 = 0,989.

f¢( x4 = 1,83015) = 3(1,83015)² + 2(1,83015) – 3 = 10,709.

Langkah berikutnya nilai x5 = 1,73780 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f(x5 = 1,73780) = (1,73780)³ + (1,73780)² – 3(1,73780) – 3 = 0,05457.

f¢( x5 = 1,73780) = 3(1,73780)² + 2(1,73780) – 3 = 9.536.

Langkah berikutnya nilai x6 = 1,73207 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f(x6 = 1,73207) = (1,73207)³ + (1,73207)² – 3(1,73207) – 3 = 0,00021.

f¢( x6 = 1,73207) = 3(1,73207)² + 2(1,73207) – 3 = 9.465.

73205

Langkah berikutnya nilai x7 = 1,73205 tersebut digunakan untuk hitungan pada iterasi berikutnya.

f(x7 = 1,73205) = (1,73205)³ + (1,73205)² – 3(1,73205) – 3 = 0,00000.

f¢( x7 = 1,73205) = 3(1,73205)² + 2(1,73205) – 3 = 9.465.

73205

Hasil hitungan metode Newton-Raphson

I	xi	xi + 1	f (xi)	f (xi + 1)
1	1.00000	3.00000	- 4.0000	24.00000
2	3.00000	2.20000	24.0000	5.88800
3	2.20000	1.83015	5.88800	0.98900
4	1.83015	1.73780	0.98900	0.05457
5	1.73780	1.73207	0.05457	0.00021
6	1.73207	1.73205	0.00021	0.00000

3. Tentukan akar dari f(x) = x³ – 2x – 5 dengan metode Newton Raphson
Jawab:

a. Menentukan akar f(x) = x³ – 2x – 5 tingkat pertama

· Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil nilai sembarang)
x0 = 2 dan x1 = 3

· Menentukan f(x1)
f(x1) = x³ – 2x – 5
f(3) = 3³ – 2.3 – 5 = 27 – 6 – 5 = 16

· Menentukan turunan f’(x) dan nilainya
f(x) = x³ – 2x – 5 --> f’(x) = 3x^2 – 2
f’(3) = 3 . 3^2 – 2 = 27 – 2 = 25

· Menentukan x2
x2 = x1 – [f(x) : f’(x)] = 3 – [16 : 25] = 3 – 0,64 = 2,36

· Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,36]

b. Menentukan akar f(x) = x³ – 2x – 5 tingkat kedua

· Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah satu)
x0 = 2 dan x1 = 2,36

· Menentukan f(x1)
f(2,36) = (2,36)³ – 2 . (2,36) – 5 = 13,144 – 4,72 – 5 = 3,424

· Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,36) = 3 . (2,36)^2 – 2 = 16,709 – 2 = 14,709

· Menentukan x2
x2 = 2,36 – [3,424 : 14,709] = 2,36 – 0,233 = 2,127

· Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x0. Maka intervalnya adalah [x0 ; x2] yaitu [2 ; 2,127]

c. Menentukan akar f(x) = x³ – 2x – 5 tingkat ketiga

· Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah kedua)x
x0 = 2 dan x1 = 2,127

· Menentukan f(x1)
f(2,127) = (2,127)³ – 2 . (2,127) – 5 = 9,623 – 4,254 – 5 = 0,369

· Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,127) = 3 . (2,127)^2 – 2 = 13,572 – 2 = 11,572

· Menentukan x2
x2 = 2,127 – [0,369 : 11,572] = 2,127 – 0,032 = 2,095

· Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,095 ; 2,127]. Karena nantinya x1 (nilai 2,127) menjadi sama dengan tingkat kedua maka interval yang benar adalah [2 ; 2,095].

d. Menentukan akar f(x) = x³ – 2x – 5 tingkat keempat

· Menentukan nilai x0 dan x1 (kita ambil dari interval langkah ketiga)
x0 = 2 dan x1 = 2,095

· Menentukan f(x1)
f(2,095) = (2,095)³ – 2 . (2,095) – 5 = 9,195 – 4,19 – 5 = 0,005

· Menentukan nilainya f’(x)
f’(2,095) = 3 . (2,095)^2 – 2 = 13,167 – 2 = 11,165

· Menentukan x2
x2 = 2,095 – [0,005 : 11,165] = 2,095 – 0,0005 = 2,0945

· Menentukan interval
Akar x2 lebih dekat dengan x1. Seharusnya intervalnya adalah [x2 ; x1] yaitu [2,0945 ; 2,095]. Karena nantinya x1 (nilai 2,095) menjadi sama dengan tingkat ketiga maka interval yang benar adalah [2 ; 2,0945].

4. Tentukan nilai dengan menggunakan metode Newton-Raphson jika diketahui nilai awal x = 3 dan ketelitian hingga 3 desimal.

· Bentuk

dapat diubah dalam bentuk pangkat

Misal :

x =

Maka :

atau

Dan

atau

Persamaan nonlinier:

Turunan fungsi:

Diketahui nilai awal

= 3

Hitung nilai f(x) dan f’(x):

Hitung

dengan rumus:

Maka didapat:

Begitu seterusnya unutk menghitung

Iterasi dapat dihentikan pada iterasi ke-4

Iterasi	Xn	f(x)	f'(x)
0	3	173	405
1	2,573	42,7362	219,0891
2	2,378	6,00724	159,8284
3	2,34	0,18693	149,9599
4	2,339	0,0002	149,6406
5	2,339	2,3E-10	149,6403

Karena nilai

dan

telah konstan (

= 2,339) sehingga ditemukan salah satu akarnya adalah 2,339.

5. Tentukanlah salah satu akar dari persamaan no linier dengan menggunakan metoe Newton-Raphson. Jika diketahui nilai awal x = -2 dan toleransi galat relatif x = 0,002 serta ketelitian hingga 3 desimal.